Editing: 가역층

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# 가역층

수학에서 가역층(可逆層, 영어: invertible sheaf)은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다.

환 달린 공간 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46716c1fec068ffe9981107a5a215fa1fc9e7d5f)

위의 연접층 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)

를 가역층이라고 한다.

스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)의 단면으로 주어진다.

X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

가 스킴이라고 하자. 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

같은 스킴 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

위의 두 대수적 선다발 
  
    
      
        (
        E
        ,
        π
        ,
        
          
            U
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891a13a2d01caa53d9cafea42b39a47ced0af98c)

, 
  
    
      
        (
        
          E
          ′
        
        ,
        
          π
          ′
        
        ,
        
          
            
              U
            
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (E',\pi ',{\mathcal {U}}')}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c495f50f34eefa7502171d30a1064adc61da65)

사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

환 달린 공간 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        ⁡
        (
        X
        ;
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
          
            ×
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3872470c2e01c85ad4e5db7f1978afe3b51419be)

의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다. 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군 
  
    
      
        Pic
        ⁡
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40065c6da3c5329d7d559c99f4b47502680d6a55)

이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형

이 존재한다.

임의의 국소 뇌터 스킴 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

위의 카르티에 인자 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자 
  
    
      
        D
        ∈
        Γ
        (
        
          
            
              K
            
          
          
            X
          
          
            ×
          
        
        
          /
        
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
          
            ×
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle D\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01fa1b66871e64fd24c1b9ce61b42c965ec0208)

가 열린 덮개 
  
    
      
        {
        
          U
          
            i
          
        
        
          }
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710ee8280766ae621336e9e60afb939d27e841a3)

에서 
  
    
      
        f
        ∈
        Γ
        (
        
          
            
              K
            
          
          
            X
          
          
            ×
          
        
        ,
        
          U
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times },U_{i})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0825ff9c02d86cc25b503525adce8a3a94b57b)

로 표현된다고 하자. (여기서 
  
    
      
        
          
            
              K
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f6a7da037e14b6656bd408e34d40bbf44433e0)

는 유리 함수층이다.) 그렇다면, 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

에 대응되는 가역층 
  
    
      
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
        
        (
        D
        )
        ⊆
        
          
            
              K
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\subseteq {\mathcal {K}}_{X}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a441701db338cdb1753a218a29ae108467d189cc)

은 
  
    
      
        (
        
          f
          
            i
          
          
            −
            1
          
        
        
          )
          
            i
            ∈
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle (f_{i}^{-1})_{i\in I}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dcbd6612a06fea75f59de8565bcd9edb94f1ed)

로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

에 대하여 
  
    
      
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
        
        (
        D
        )
        ≅
        
          
            
              O
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\cong {\mathcal {O}}_{X}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f23cc9c0dea8882434d34b7e2522d930a7bb66f)

이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형

을 정의한다.

뇌터 가환환 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)

위의 사영 스킴 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

가 주어졌다고 하자. (
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![i

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