Editing: 등비수열

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# 등비수열

등비수열(等比數列, 문화어: 같은비수렬, 영어: geometric sequence) 또는 기하수열(幾何數列)은 각 항이 이전 항과 일정한 비를 가지는 수열을 말하며, 각 항과 이전 항의 일정한 비율을 공비(共比, common ratio)라고 한다.

초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

첫항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

첫항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

첫항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

첫항이 a이며, 공비가 r인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

등비수열은 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열인지 확인하기 위해서는 각각의 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보이는데 만약 공비가

등비수열은(공비가 −1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다.

0이 아닌 세 수 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)

, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)

, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)

가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)

를 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)

와 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)

의 등비중항 혹은 기하평균(geometric mean)이라 한다.

따라서 세 수 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)

, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)

, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)

에 대하여, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)

가 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)

와 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)

의 등비중항이라면

또 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        a
        c
      
    
    {\displaystyle b^{2}=ac}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3658db6d4445ae103e425069c5995e270b0311f)

에서 
  
    
      
        b
        =
        ±
        
          
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48b736fb62c3b65d66af3b9673e24e691574f30)

이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

b
        =
        ±
        
          
            a
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle b=\pm {\sqrt {ac}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48b736fb62c3b65d66af3b9673e24e691574f30)

은 실제 기하평균의 꼴이다.

초항부터 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

항까지의 합을 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4)

으로 정의하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

S
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          a
                          (
                          1
                          −
                          
                            r
                            
                              n
                            
                          
                          )
                        
                        
                          1
                          −
                          r
                        
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  r
                  ≠
                  1
                  )
                
              
              
                
                  n
                  a
                
                
                  (
                  r
                  =
                  1
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\dfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}&(r\neq 1)\\na&(r=1)\end{cases}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37eda863209b7b3d59f40e841bba7bc2ffe28111)

a
              (
              1
              −
              
                r
                
                  n
                
              
              )
            
            
              1
              −
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22b55fc352dac1380e3a60bd8b9a066026bb4d0)

인데, 편의상 
  
    
      
        
          
            
              a
              (
              
                r
                
                  n
                
              
              −
              1
              )
            
            
              r
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10618d2ca8d021fd3fe2851d4a99fc3afe49b1f5)

를 사용해도 된다.

단, 
  
    
      
        r
        =
        1
      
    
    {\displaystyle r=1}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6584ba3b7843583b757896c2f0686efc0489e5)

인 경우, 
  
    
      
        n
        a
      
    
    {\displaystyle na}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ad9df11220f7997992543b0053bcd211aadd78)

로 표현한다. 
  
    
      
        r
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle r\neq 1}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e99cedb8e04f4d403afffce3aba8a7559741a36)

인 경우는 다음과 같다.

S
          
            n
          
        
        =
        a
        +
        a
        r
        +
        a
        
          r
          
            2
          
        
        +
        a
        
          r
          
            3
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        a
        
          r
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4838d94ff998e6f17548ff1d8e6e7bdb7cd87ae0)

양변에 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)

을 곱하면

r
        
          S
          
            n
          
        
        =
        a
        r
        +
        a
        
          r
          
            2

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