Editing: 분배 함수 (확률론)

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# 분배 함수 (확률론)

확률론, 정보 이론 및 동적계에서 사용되는 분배 함수 또는 구성 적분은 통계 역학에서 다루던 분배 함수의 정의를 일반화한 것이다. 볼츠만 분포에 대한 확률론의 정규화 상수의 특별한 경우이다. 분배 함수는 자연적인 대칭이 있는 상황에서 관련 확률 측도인 깁스 측도가 마르코프 속성을 갖기 때문에 확률론의 많은 문제에서 발생한다. 이는 분배 함수가 변환 대칭을 갖는 물리적 계뿐만 아니라 신경망(홉필드 네트워크)과 같은 다양한 설정과 마르코프 논리 네트워크와 마르코프 네트워크를 사용하는 유전체학, 말뭉치 언어학 및 인공 지능과 같은 응용에서도 발생한다는 것을 의미한다. 깁스 측도는 에너지의 고정된 기대값에 대한 엔트로피를 최대화하는 특성을 갖는 고유한 척도이기도 하다. 이는 최대 엔트로피 원리과 그로부터 파생된 알고리듬의 분배 함수의 출현에 기초한다.

분배 함수는 다양한 개념을 하나로 묶어 다양한 종류의 수량을 계산할 수 있는 일반적인 프레임워크를 제공한다. 특히 기대값 계산 방법과 그린 함수를 보여주며 프레드홀름 이론에 대한 가교 역할을 한다. 이는 또한 정보 이론에 대한 정보 기하학 접근 방식을 위한 자연스러운 설정을 제공한다. 여기서 피셔 정보 계량은 분배 함수에서 유도된 상관 함수로 이해될 수 있다. 이는 리만 다양체 구조를 가진다.

확률 변수에 대한 설정이 복소 사영 공간 또는 사영 힐베르트 공간에 있을 때 푸비니-슈투디 계량으로 기하화하면 양자 역학 이론과 보다 일반적으로 양자장론이 탄생한다. 이러한 이론에서 분배 함수는 경로 적분 공식에서 크게 활용되어 큰 성공을 거두었으며 여기에서 검토한 것과 거의 동일한 많은 공식을 생성한다. 그러나 기본 측도 공간은 확률론의 실수 값  단체와 달리 복소수 값이므로 많은 수식에 허수 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)

가 나타난다. 이를 추적하는 것은 번거로운 일이므로 여기서는 다루지 않는다. 이 문서에서는 확률의 합이 1이 되는 고전 확률론에 주로 중점을 둔다.

x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158)

들에서 값을 갖는 일련의 확률 변수 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d)

들과 퍼텐셜 함수 또는 해밀토니안 
  
    
      
        H
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4505e24ce28834406fb1b2df625a7e9a2e945e4a)

이 주어지면, 분배 함수는 다음과 같이 정의된다.

함수 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)

는 상태 공간 
  
    
      
        {
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        }
      
    
    {\displaystyle \{X_{1},X_{2},\cdots \}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38b986b75ee13d90929280aac1ce9b660f72e71)

의 실수 값 함수로 이해된다. 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)

는 실수 값의 자유 매개변수(통상적으로 역온도)이다.  
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158)

에 대한 합은 각 확률 변수 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d)

가 가질 수 있는 모든 가능한 값에 대한 합으로 이해된다. 따라서 합은 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d)

가 이산형이 아니라 연속형인 경우 적분으로 대체된다. 연속형인 경우 다음과 같이 쓴다.

H
      
    
    {\displaystyle H}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)

가 유한차원 행렬이나 무한차원 힐베르트 공간 연산자 또는 C* 대수의 원소와 같은 관측가능량의 경우, 합산을 대각합으로 표현하는 것이 일반적이다.

H
      
    
    {\displaystyle H}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)

가 무한 차원인 경우 위의 표기법이 유효하려면 인수는 핵작용소, 즉 합이 존재하고 유계인 형식이어야 한다.

변수 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d)

들의 수는 가산일 필요는 없으며, 비가산일 경우 합은 범함수 적분으로 대체된다. 범함수 적분에 대한 많은 표기법이 있지만 일반적인 표기법은 다음과 같다.

양자장론의 분배 함수의 경우도 마찬가지이다.

분배 함수에 대한 일반적이고 유용한 수정은 보조 함수를 도입하는 것이다. 이를 통해 예를 들어 분배 함수를 상관 함수 의 생성 함수로 사용할 수 있다. 이에 대해서는 아래에서 더 자세히 설명한다.

매개변수 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)

의 역할 또는 의미는 다양한 의미로 이해될 수 있다. 고전 열역학에서는 역온도이다. 보다 일반적으로, 확률 변수  
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

의 어떤 (임의의) 함수 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)

에 켤레 변수라고 말할 수 있다. 여기서 켤레라는 단어는 라그랑주 역학에서 켤레 일반화된 좌표라는 의미로 사용된다. 이때 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)

는 라그랑주 승수이다. 그것은 일반적으로 일반화된 힘이라고 불린다. 이러한 모든 개념은 하나의 값은 고정되어 있어야 하고 다른 값은 복잡한 방식으로 상호 연결되어 변경될 수 있다는 공통점을 가지고 있다. 현재의 경우 고정되어야 할 값은 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)

의 기대값이다. 심지어 많은 다른 확률 분포가 정확히 동일한 (고정) 값을 생성할 수 있다.

일반적인 경우에는 일련의 함수 
  
    
      
        {
        
          H
          
            k
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        ⋯
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{H_{k}(x_{1},\cdots )\}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5be9755dba7fc7e2bd9d0764b3afee16c275ad)

을 고려한다.  각각은 확률 변수 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d)

에 따라 달라진다. 이러한 함수는 어떤 이유로든 기대값을 일정하게 유지하기를 원하기 때문에 선택된다. 이러한 방식으로 기대값을 제한하려면 라그랑주 승수법을 적용한다. 일반적인 경우 최대 엔트로피 방법은 이것이 수행되는 방식을 보여준다.

몇 가지 구체적인 예가 순서대로 나와 있다. 기본 열역학 문제에서 바른틀 앙상블을 사용할 때 하나의 매개변수 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)

만 사용한다.  이는 일정하게 유지되어야 하는 단 하나의 기대값, 즉 자유 에너지( 에너지 보존으로 인한)가 있다는 사실을 반영한다. 화학 반응과 관련된 화학 문제의 경우 큰 바른틀 앙상블이 적절한 기초를 제공하며 두 개의 라그랑주 승수가 있다. 하나는 에너지를 일정하게 유지하는 것이고, 다른 하나는 퓨가시티로 입자 수를 일정하게 유지하는 것이다(화학 반응에는 고정된 수의 원자 재결합이 포함되므로).

일반적인 경우에는

β
        =
        (
        
          β
          
            1
          
        
        ,
        
          β
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        )
      
    
    {\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\cdots )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82327e5f7ea27a01431656ad64578306df5c8ce)

는 공간 속의 한 점이다.

관측가능량 
  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8af69c8cae9ee6ba302b6b3f4b0618ac08e427)

들의 컬렉션의 경우,

이전과 마찬가지로 tr의 인수는 핵작용소라고 가정한다.

그러면 해당 깁스 측도는 각각 
  
    
      
        
          H
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{k}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8af69c8cae9ee6ba302b6b3f4b0618ac08e427)

의 기대값이 고정된 값인 확률 분포를 제공한다. 더 정확하게 말하면,

⟨
        
          H
          
            k
          
        
        ⟩
      
    
    {\displays

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