Editing: 주기함수

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# 주기함수

수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

0이 아닌 실수 
  
    
      
        t
        ∈
        
          R
        
        ∖
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4c80123bf5a9f40460c904048a4fbcbd9f383d)

및 실수 부분 집합 
  
    
      
        D
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle D\subset \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1798221e1270f83ece4ead9abf0bf0c06c041e23)

및 실수 함수 
  
    
      
        f
        :
        D
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e)

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

를 주기 함수라고 하고, 실수 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)

를 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

실수 주기 함수 
  
    
      
        f
        :
        D
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e)

및 실수 
  
    
      
        T
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle T\in \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc942013c1e7b6ace10ca49d838176c318b6abf)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)

를 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.

실수 주기 함수 
  
    
      
        f
        :
        D
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229e3a78dd4be03159691c3d4c84a9095784d26e)

의 주기와 0의 집합을 
  
    
      
        prd
        ⁡
        f
      
    
    {\displaystyle \operatorname {prd} f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd642c54a801677c93de7c87139e1b64517cdaf7)

로 적자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

따라서 
  
    
      
        prd
        ⁡
        f
      
    
    {\displaystyle \operatorname {prd} f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd642c54a801677c93de7c87139e1b64517cdaf7)

는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.

실수 주기 함수 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

만약 주기 함수 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302)

가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

는

과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.

삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 
  
    
      
        2
        π
      
    
    {\displaystyle 2\pi }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)

, 탄젠트 함수는 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)

를 기본 주기로 한다.

상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

디리클레 함수

는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

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