Editing: 측지선 완비 준 리만 다양체

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# 측지선 완비 준 리만 다양체

리만 기하학에서 측지선 완비 준 리만 다양체(測地線完備準Riemann多樣體, 영어: geodesically complete pseudo-Riemannian manifold)는 그 측지선들이 중간에 임의로 끊기지 않는 준 리만 다양체이다.

(
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

가 준 리만 다양체라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

를 측지선 완비 준 리만 다양체라고 한다.

즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 준 리만 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 측지선 완비 리만 다양체가 아니다.

준 리만 다양체 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

및 임의의 점 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)

가 주어졌을 때, 초기 속도에 측지선을 대응시키는 지수 사상

을 정의할 수 있다. 물론, 정의역 
  
    
      
        dom
        ⁡
        
          exp
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {dom} \exp _{x}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010213672913f353b026959f0aa83b97c9c38e79)

는 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)

의 근방을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 
  
    
      
        
          T
          
            x
          
        
        ⁡
        M
      
    
    {\displaystyle \operatorname {T} _{x}M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec71f3408e14bdd554c21a428715bd73f3600a8)

전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

리만 다양체 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

속의 점 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)

의 단사성 반지름(單射性半-, 영어: injectivity radius)은 
  
    
      
        
          exp
          
            x
          
        
        ↾
        {
        v
        ∈
        
          
            T
          
          
            x
          
        
        M
        :
        g
        (
        v
        ,
        v
        )
        <
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp _{x}\upharpoonright \{v\in \mathrm {T} _{x}M\colon g(v,v)<R^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1b6b5a9315e24f0307747491a3b56ee18cc366)

가 단사 함수가 되는 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)

들의 상한이다. (물론 이 개념은 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체에 대하여 무의미하다.)

준 리만 다양체 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 불가능 준 리만 다양체(擴張不可能準Riemann多樣體, 영어: inextendable pseudo-Riemannian manifold)라고 한다.

임의의 준 리만 다양체에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

리만 다양체의 경우, 호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면 다음 세 조건이 서로 동치이다.

여기서, 임의의 연결 리만 다양체 위에는 표준적인 거리 함수를 줄 수 있는데, 위의 "완비 거리 공간" 및 "유계 집합"은 이 거리 함수에 대한 것이다.

그러나 호프-리노프 정리는 리만 다양체가 아닌 준 리만 다양체의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.

다만, 콤팩트 로런츠 다양체의 리만 곡률이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.

호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 로런츠 다양체의 대표적인 예는 클리프턴-폴 원환면(Clifton-Pohl圓環面, 영어: Clifton–Pohl torus)이다.: 193, Example 7.16  이는 콤팩트 공간이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 평면 
  
    
      
        
          
            
              M
              ~
            
          
        
        =
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        ∖
        {
        0
        }
        =
        {
        (
        x
        ,
        y
        )
        ∈
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        :
        (
        x
        ,
        y
        )
        ≠
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {M}}=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon (x,y)\neq (0,0)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0db19c6e5ecec1da48966e1f18b73e5967f6a3)

위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자.

이를 클리프턴-폴 평면(Clifton-Pohl平面, 영어: Clifton–Pohl plane)이라고 한다.
그렇다면, 다음과 같은 변환들은 
  
    
      
        
          
            
              M
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {M}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782dd22843a23d3c71e4dca3f51bdd724819e83e)

위의 등거리 변환이다.

이제, 
  
    
      
        
          S
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1143e284d5f25cef778ab482edf6617a523ddd9f)

로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간

은 원환면 
  
    
      
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575fc11ceac27a98a6507a96dd71e72ebd1d9d31)

과 미분 동형이며, 특히 콤팩트 공간이다. 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

을 클리프턴-폴 원환면이라고 한다.

(
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

은 콤팩트 로런츠 다양체이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선

은 
  
    
      
        t
        =
        1
      
    
    {\displaystyle t=1}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970dea4a5f5ec5355c4cdd62f6396fbc8b1baaa1)

에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선

역시 
  
    
      
        t
        ±
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle t\pm \pi /2}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2133cae210b2c53fbf663689b3d230e7cbb99435)

에서 정의되지 않는다.

사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자.

그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다.

이는 자연스럽게

위에 정의된다. 즉, 단사 등거리 변환

이 존재하며, 그 상은

이다. 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)

을 확장 클리프턴-폴 평면(擴張Clifton-Pohl平面, 영어: extended Clifton–Pohl plane)이라고 하며, 이는 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

과 달리 측지선 완비 다양체이다.: §1.3  그러나 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)

의 경우 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

을 정의하는 데 사용되었던 자기 등거리 변환이 존재하지 않는다.

호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프(독일어: Willi Ludwig August Rinow, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클

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