Editing: 그뢰브너 기저

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# 그뢰브너 기저

가환대수학에서 그뢰브너 기저(Gröbner基底, 영어: Gröbner basis)는 다항식환의 아이디얼의 여러 성질들을 쉽게 계산할 수 있게 하는 부분집합이다.

n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

개의 변수 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56204ada1ecf9dd5c6beddfdfd0f341cd69ff632)

에 대한 단항식(單項式, 영어: monomial)은

과 같은 꼴의 다항식이다. 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

개 변수에 대한 단항식 순서(單項式順序, 영어: monomial order)는 다음 성질들을 만족시키는, 단항식 집합 위의 전순서 
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035)

이다. 모든 단항식 
  
    
      
        M
        ,
        N
        ,
        P
      
    
    {\displaystyle M,N,P}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a563828c737f58c198ebf921191aaa570543c0)

에 대하여,

체 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)

에 대한 다항식환 
  
    
      
        K
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748315d6cd2cedfa607f14dbbc65ed4ea58d6439)

을 생각하자. 그렇다면 다항식 
  
    
      
        p
        ∈
        K
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle p\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91de0d8e2a45872a14062288a3aa3037c8cae1ff)

은, 단항식의 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)

-선형 결합으로 표현할 수 있다. 단항식 순서 
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035)

에 대한 다항식 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)

의 최고차항(영어: leading term) 
  
    
      
        lt
        ⁡
        p
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lt} p}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68efaaaf9187f14835b0418efff505ef66206b39)

은 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)

를 구성하는 단항식들 가운데, 단항식 순서 
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035)

에 대하여 가장 큰 단항식이다.

아이디얼 
  
    
      
        
          
            a
          
        
        ⊆
        K
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq K[x_{1},\dots ,x_{n}]}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1d87af21d9285848affd085e9be989b2a4bcbe)

와 단항식 순서 
  
    
      
        ≤
      
    
    {\displaystyle \leq }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440568a09c3bfdf0e1278bfa79eb137c04e94035)

가 주어졌다고 하자. 만약 다항식 집합 
  
    
      
        G
        ⊂
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle G\subset {\mathfrak {a}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860d082c8df6256dd431066d07b78bca5b71de95)

의 최고차항들로 생성되는 아이디얼 
  
    
      
        (
        lt
        ⁡
        G
        )
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {lt} G)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694dd82c87d63f405b7f6fb5a5593cb2269030b1)

가 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {a}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f656feeddb5d98500bb4d3fc31038d0b87484b)

의 최고차항으로 생성되는 아이디얼 
  
    
      
        (
        lt
        ⁡
        
          
            a
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {lt} {\mathfrak {a}})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdb4712f3f28157c388ba9b0aec06f751300b87)

와 일치한다면, 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)

를 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {a}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f656feeddb5d98500bb4d3fc31038d0b87484b)

의 그뢰브너 기저라고 한다.

브루노 부흐베르거(독일어: Bruno Buchberger)가 박사 학위 논문에서 1965년에 정의하고, 이를 계산하는 알고리즘을 발표하였다. "그뢰브너 기저"라는 이름은 부흐베르거의 박사 과정 지도 교수 볼프강 그뢰브너(독일어: Wolfgang Gröbner)의 이름을 딴 것이다.

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