리만-로흐 정리

S3 2026-06-30 2 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 리만-로흐 정리

대수기하학에서 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

이 콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

위의 인자는 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

는 다음과 같은 꼴이다.

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

α
      
    
    {\displaystyle \alpha }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)

가 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)

는 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{i}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2)

이고, 그 차수가 각각 
  
    
      
        −
        n
        (
        
          p
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle -n(p_{i})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a948219260847d034d4e8e8b6cb5bf5d0e05ca)

라고 하자. 영점들이 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d567ac2d170501680d2efa4c1d71d6a8569ef1)

이고, 그 차수가 각각 
  
    
      
        n
        (
        
          q
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle n(q_{j})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe18d95c69df0afc224e931bcb30707a1154b941)

라고 하자. 그렇다면 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)

의 인자를 다음과 같이 정의한다.

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

에 대하여, 
  
    
      
        div
        ⁡
        (
        f
        )
        +
        D
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} (f)+D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe3880c58610d55f705bd192eda9bf8478cd2f3)

의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 
  
    
      
        I
        (
        D
        )
      
    
    {\displaystyle I(D)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cac3cdbc3feff1b749402022ee1541a7b095b5e)

라고 하자.

D
      
    
    {\displaystyle D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)

가 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

위의 인자이고, 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)

가 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

여기서 
  
    
      
        χ
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (M)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f00ab6340ffc04b74eaf4b3c2c5c9425d5dfb)

은 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

의 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)

로 쓰면

이다.

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

위에 정칙 선다발 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)

이 있다고 하자. 그렇다면 층 코호몰로지 (
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)

계수 돌보 코호몰로지) 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        ⁡
        (
        M
        ,
        
          
            O
          
        
        (
        L
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab4a58f10666f3679efa2ac2608e2cfb41dfe09)

및 
  
    
      
        
          H
          
            1
          
        
        ⁡
        (
        M
        ,
        
          
            O
          
        
        (
        L
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ca7767e6e03eab512b6005d2790bf24d406ace)

을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 
  
    
      
        dim
        ⁡
        
          H
          
            k
          
        
        =
        
          h
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{k}=h^{k}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68fa39222105b7ef7228b49710a6267726dc63c)

로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(여기서 
  
    
      
        χ
        (
        M
        ,
        L
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (M,L)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d2fb07e68dac3cd63ea08ed5b7f661f4bec55f)

은 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)

의 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

따라서, 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)

에 대응하는 인자류가 
  
    
      
        [
        D
        ]
      
    
    {\displaystyle [D]}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4bcb25d77a0de74082c849178200b8cf1340b4)

라고 한다면

가 된다.

보다 일반적으로, 리만 곡면 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)

위의 (임의의 계수의) 정칙 벡터 다발 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.

여기서