사영 평면

S3 2026-06-25 5 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 사영 평면

사영기하학에서 사영 평면(射影平面, 영어: projective plane)은 일반적인 평면과 유사하지만, “무한대”의 점이 존재하여 모든 두 직선이 항상 교차하게 되는 결합 구조이다.

결합 구조 
  
    
      
        (
        X
        ,
        L
        ,
        ⊲
        )
      
    
    {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d06fc472826b4d365b14af0117b6409e3b40a8)

속의, 크기 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

의 유한 집합 
  
    
      
        P
        ⊆
        X
      
    
    {\displaystyle P\subseteq X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e3e160a51f66ba80ef7ed323739ffd6b069b66)

가 다음 조건을 만족시킨다면, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

각형(
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

角形, n</math>-gon"}},"i":0}}]}'>영어: 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

-gon)이라고 한다.

결합 구조 
  
    
      
        (
        X
        ,
        L
        ,
        ⊲
        )
      
    
    {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d06fc472826b4d365b14af0117b6409e3b40a8)

가운데, 다음 세 조건을 만족시키는 것을 사영 평면이라고 한다.

사영 평면 
  
    
      
        (
        X
        ,
        L
        ,
        ⊲
        )
      
    
    {\displaystyle (X,L,\vartriangleleft )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d06fc472826b4d365b14af0117b6409e3b40a8)

속의 두 삼각형 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y,z)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4)

, 
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        ,
        
          z
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y',z')}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e2bfb57b764bc4352ab1a83d0351b39cc1967)

이 주어졌다고 하고, 그 변들을 각각 
  
    
      
        (
        l
        ,
        m
        ,
        n
        )
        ,
        (
        
          l
          ′
        
        ,
        
          m
          ′
        
        ,
        
          n
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (l,m,n),(l',m',n')}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4f2a6771ee77a2a1f91cdc94d425bdfe7cd754)

이라고 하자.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 축배경적(영어: axially in perspective)이라고 한다.

만약 다음 조건이 성립한다면, 이 두 삼각형이 서로 중심 배경적(영어: centrally in perspective)이라고 한다.

만약 주어진 사영 평면 속의 임의의 두 삼각형에 대하여, 축배경성이 중심 배경성과 동치라면, 이 사영 평면이 데자르그 사영 평면(Desargues영어: Desarguesian projective plane)이라고 한다.

사영 평면 
  
    
      
        P
        =
        (
        X
        ,
        L
        ,
        ⊲
        )
      
    
    {\displaystyle P=(X,L,\vartriangleleft )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ffdef4103381e5c2761cd9e822ec639f3def2d)

이 주어졌을 때, 
  
    
      
        (
        L
        ,
        X
        ,
        ⊳
        )
      
    
    {\displaystyle (L,X,\vartriangleright )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d3c88a67c3d8f66bcca7ae43ce1c91cb5de1bf)

, 즉

사영 평면을 구성할 수 있다. 이를 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)

의 쌍대 사영 평면(영어: dual projective plane)이라고 한다.

모든 사영 평면 
  
    
      
        (
        X
        ,
        L
        ,
        ⊳
        )
      
    
    {\displaystyle (X,L,\vartriangleright )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf41b5ffe485818673d87740624e980b20c95c4)

에 대하여, 다음이 성립한다.

다음과 같은 추측이 존재하지만, 이는 아직 미해결 난제이다.

예를 들어, 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            2
          
        
        (
        
          
            F
          
          
            q
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {F} _{q})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad7eb384fc3542d3c289fc22fc14002a434aa3d)

는 차수 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)

의 유한 사영 평면이다.

또한, 다음과 같은 추측이 존재하지만, 이 역시 미해결 난제이다.

결합 구조 가운데, 사영 평면의 세 공리 중 처음 두 개를 만족시키지만 셋째를 만족시키지 못하는 것들은 모두 분류되었으며, 다음 세 족 가운데 하나에 속한다.

B
          
            2
            ,
            2
          
        
        =
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2,2}=C_{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a95fa7613006644a993bbf6c70013031f1458bb)

이다. 이 경우를 제외하면, 이 세 족들은 서로소이다.

모든 데자르그 사영 평면은 분류되었으며, 다음과 같은 꼴이다. 어떤 나눗셈환 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)

에 대하여,

이를 
  
    
      
        
          
            P
          
          
            K
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d861d3172d39cf89ae7a59d3d8ac9a5557946c17)

로 표기한다.

특히, 크기 2의 유한체 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde97f1e971e76227cd0aac645b7b0901d7b668d)

위의 사영 평면은 파노 사영 평면(영어: Fano projective plane)이라고 한다.

작은 차수 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d)

의 유한 사영 평면들을 생각하자. 
  
    
      
        q
        ≤
        10
      
    
    {\displaystyle q\leq 10}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb3ea56b0c1d6c0d0c60903d20cc8cec51b8cff)

인 유한 사영 평면들은 다음과 같다.

교대 대수 
  
    
      
        (
        A
        ,
        +
        ,
        0
        ,
        ⋆
        )
      
    
    {\displaystyle (A,+,0,\star )}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8181926080025b0a8be87687fcdae11234611b64)

에서, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 그렇다면, 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)

위의 사영 평면을 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 사영 평면을 무팡 사영 평면(영어: Moufang projective plane)이라고 한다. 모든 데자르그 사영 평면은 무팡 사영 평면이다. 반면, 예를 들어 팔원수 위의 사영 평면은 데자르그 사영 평면이 아닌 무팡 사영 평면이다.

모든 사영 평면은 삼진환으로부터 구성될 수 있다. 반대로, 각 삼진환에는 사각형이 주어진 사영 평면을 대응시킬 수 있다.