원넓이

S8 2026-07-10 2 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 원넓이

기하학에서 반지름 r인 원으로 둘러싸인 넓이는 2</sup>"}},"i":0}}]}'>πr2이다. 여기서 그리스 문자 π는 모든 원의 원둘레와 지름의 상수 비율을 나타내며, 대략 3.14159와 같다.

아르키메데스로부터 시작된 이 공식을 유도하는 한 가지 방법은 원을 변의 수가 증가하는 정다각형 수열의 극한으로 보는 것이다. 정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 중심에서 변까지의 거리를 곱한 것이며, 이 수열이 원에 가까워지기 때문에 넓이가 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것, 즉 A = ⁠1/2⁠ × 2πr × r이라는 해당 공식은 원에 대해서도 성립한다.

비공식적인 맥락에서는 종종 원의 넓이로 불리지만, 엄밀히 말하면 원판이라는 용어는 원의 내부 영역을 지칭하며, 원 (기하학)은 곡선이며 그 자체로는 넓이를 포함하지 않는 경계만을 위해 사용된다. 따라서 원판의 넓이는 원에 의해 둘러싸인 넓이에 대한 더 정확한 표현이다.

현대 수학은 적분법 또는 그보다 더 정교한 실해석학의 방법을 사용하여 넓이를 구할 수 있다. 그러나 원판의 넓이는 고대 그리스인들에 의해 연구되었다. 기원전 5세기 에우독소스는 원판의 넓이가 반지름의 제곱에 비례한다는 것을 발견했다. 아르키메데스는 그의 책 《원 측정》에서 유클리드 기하학의 도구를 사용하여 원 안의 넓이가 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형의 넓이와 같음을 보였다. 원둘레는 2πr이고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반에 높이를 곱한 것이므로, 원판의 넓이는 π r2이다. 아르키메데스 이전에 키오스의 히포크라테스는 히포크라테스의 초승달의 구적법의 일환으로 원판의 넓이가 지름의 제곱에 비례한다는 것을 처음으로 보였지만, 비례 상수는 밝히지 않았다.

다양한 수학적 엄밀성으로 
  
    
      
        A
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\pi r^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f7b7f93f93e7ba7bebb97efbe88e181ce332e4)

공식을 확립하기 위해 역사적으로 다양한 논증이 제시되었다. 이들 중 가장 유명한 것은 아르키메데스의 소진법으로, 극한이라는 수학적 개념의 초기 사용 중 하나이며, 실수 시스템의 표준 해석적 처리의 일부로 남아 있는 아르키메데스 성질의 기원이기도 하다. 아르키메데스의 원래 증명은 현대적 기준으로는 엄밀하지 않다. 이는 원호의 길이와 현 및 접선 길이를 비교하고, 넓이에 대한 유사한 진술을 기하학적으로 명확하다고 가정하기 때문이다.

정다각형의 넓이는 둘레의 절반에 변심거리를 곱한 것이다. 정다각형의 변의 수가 증가함에 따라 다각형은 원에 가까워지고 변심거리는 반지름에 가까워진다. 이는 원판의 넓이가 경계 원의 원둘레의 절반에 반지름을 곱한 것임을 시사한다.

아르키메데스의 《원 측정》(기원전 260년경) 논증에 따라, 원으로 둘러싸인 넓이를 밑변의 길이가 원둘레와 같고 높이가 원의 반지름과 같은 직각삼각형과 비교한다. 원의 넓이가 삼각형의 넓이와 같지 않다면, 그것은 더 크거나 작아야 한다. 우리는 각각을 모순으로 제거하여 같음만이 유일한 가능성으로 남겨둔다. 우리는 정다각형을 같은 방식으로 사용한다.

원이 둘러싸는 넓이 C가 삼각형의 넓이 T = cr/2보다 크다고 가정하자. 초과량을 E라고 하자. 원 안에 정사각형을 내접시켜 네 모서리가 원 위에 놓이도록 한다. 정사각형과 원 사이에는 네 개의 조각이 있다. 이 간격의 총 넓이 G4가 E보다 크다면, 각 호를 절반으로 나눈다. 이렇게 하면 내접된 정사각형이 내접된 팔각형이 되고, 더 작은 총 간격 G8을 가진 여덟 개의 조각이 생긴다. 총 간격 넓이 Gn이 E보다 작아질 때까지 분할을 계속한다. 이제 내접된 다각형의 넓이 Pn = C − Gn은 삼각형의 넓이보다 커야 한다.

그러나 이는 다음과 같이 모순을 강요한다. 중심에서 다각형 변의 중간점으로 수직선을 그리면 그 길이 h는 원 반지름보다 작다. 또한 다각형의 각 변의 길이를 s라고 하자. 그러면 변들의 합은 ns인데, 이는 원둘레보다 작다. 다각형 넓이는 높이 h와 밑변 s를 가진 n개의 동일한 삼각형으로 구성되므로 nhs/2와 같다. 그러나 h < r이고 ns < c이므로 다각형 넓이는 삼각형 넓이 cr/2보다 작아야 하며, 이는 모순이다. 그러므로 C가 T보다 클 수 있다는 우리의 가정은 틀려야 한다.

원이 둘러싸는 넓이가 삼각형의 넓이 T보다 작다고 가정하자. 부족량을 D라고 하자. 각 변의 중간점이 원 위에 놓이도록 정사각형을 외접시킨다. 정사각형과 원 사이의 총 넓이 간격 G4가 D보다 크다면, 원 접선으로 모서리를 잘라 외접된 팔각형을 만들고, 간격 넓이가 D보다 작아질 때까지 자르기를 계속한다. 다각형의 넓이 Pn은 T보다 작아야 한다.

이 또한 모순을 강요한다. 왜냐하면, 각 다각형 변의 중간점에 대한 수직선은 길이 r인 반지름이기 때문이다. 그리고 총 변의 길이가 원둘레보다 크기 때문에, 다각형은 총 넓이가 T보다 큰 n개의 동일한 삼각형으로 구성된다. 다시 모순이 발생하므로 C가 T보다 작을 수 있다는 우리의 가정 또한 틀려야 한다.

그러므로 원이 둘러싸는 넓이는 삼각형의 넓이와 정확히 같아야 한다. 이것으로 증명이 완료된다.

사토 모슌 (Smith & Mikami 1914, pp. 130–132), 니콜라우스 쿠자누스, 그리고 레오나르도 다 빈치 (Beckmann 1976, p. 19)에 따라, 우리는 내접된 정다각형을 다른 방식으로 사용할 수 있다. 육각형을 내접시킨다고 가정해보자. 육각형을 중심에서부터 잘라 여섯 개의 삼각형으로 나눈다. 마주보는 두 삼각형은 두 개의 공통 지름에 접하며, 한 지름을 따라 밀어 반지름 방향의 변들이 인접하도록 한다. 이제 이들은 평행사변형을 형성하는데, 육각형 변이 두 개의 마주보는 변을 이루고, 그 중 하나는 밑변 s이다. 두 반지름 방향 변은 기울어진 변을 형성하고, 높이 h는 변심거리와 같다 (아르키메데스 증명과 같이). 사실, 모든 삼각형을 연속적인 쌍으로 서로 옆에 놓음으로써 하나의 큰 평행사변형으로 조립할 수도 있다. 변의 수를 여덟 개 등으로 늘려도 마찬가지이다. 2n개의 변을 가진 다각형의 경우, 평행사변형은 길이 ns의 밑변과 높이 h를 가질 것이다. 변의 수가 증가함에 따라 평행사변형 밑변의 길이는 원둘레의 절반에 가까워지고, 높이는 원 반지름에 가까워진다. 극한에서 평행사변형은 폭 πr, 높이 r인 직사각형이 된다.

상수 π에는 다양한 동등한 정의가 있다. 미적분학 이전 기하학의 전통적인 정의는 원의 원둘레와 지름의 비율이다.

그러나 원의 원둘레는 원시적인 해석적 개념이 아니기 때문에, 이 정의는 현대의 엄밀한 취급에는 적합하지 않다. 표준적인 현대적 정의는 π가 코사인 함수의 최소 양의 근의 두 배와 같거나, 동등하게 사인 (또는 코사인) 함수의 반주기와 같다는 것이다. 코사인 함수는 멱급수 또는 특정 미분방정식의 해로 정의될 수 있다. 이는 π의 정의에서 원에 대한 모든 언급을 피하므로, π와 원의 원둘레 및 넓이의 관계에 대한 진술은 실제로 정의가 아니라 "넓이" 및 "원둘레"와 같은 개념의 해석적 정의에서 파생되는 정리이다.

원의 원둘레가 다음 적분을 통해 길이 재기 가능한 곡선으로 측정된다는 데 동의하면 해석적 정의는 동등한 것으로 보인다.

오른쪽에 나타나는 적분은 사인 함수의 반주기인 π와 같은 값을 갖는 아벨 적분이다. 따라서 
  
    
      
        C
        =
        2
        π
        R
        =
        π
        D
      
    
    {\displaystyle C=2\pi R=\pi D}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf001d870a834f75dbf9bbbe40b67b0d26b2b6c)

는 정리로서 참으로 보인다.

이어지는 몇 가지 논증은 
  
    
      
        A
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\pi r^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f7b7f93f93e7ba7bebb97efbe88e181ce332e4)

공식을 재현하기 위해 초등 미적분학의 개념만을 사용하지만, 많은 경우 이를 실제 증명으로 간주하려면 삼각 함수와 기본 상수 π를 기하학과의 관계와 완전히 독립적인 방식으로 개발할 수 있다는 사실에 암묵적으로 의존한다. 우리는 이들 각 증명을 모든 삼각법과 완전히 독립적으로 만드는 방법을 적절히 표시했지만, 어떤 경우에는 초등 미적분학에서 제공하는 것보다 더 정교한 수학적 아이디어가 필요하다.

미적분학을 사용하여 원판을 양파의 껍질처럼 얇은 동심원으로 분할하여 넓이를 점진적으로 합산할 수 있다. 이것은 2차원에서 원통셸 방법이다. 반지름 t인 "양파"의 무한히 얇은 고리의 경우, 누적된 넓이는 2πt dt이다. 이는 고리의 원둘레 길이와 무한소 너비(이 고리는 너비=2πt, 높이=dt인 직사각형으로 근사할 수 있다)를 곱한 것이다. 이것은 반지름 r인 원판에 대한 기본적인 적분을 제공한다.

이는 극좌표에서의 다변수 치환 규칙에 의해 엄밀하게 정당화된다. 즉, 넓이는 원판 자체에 대한 상수 함수 1의 중적분에 의해 주어진다. D가 원판을 나타내면, 중적분은 극좌표계에서 다음과 같이 계산될 수 있다.

이는 위에서 얻은 것과 동일한 결과이다.

삼각법의 특별한 좌표에 의존하지 않는 동등하고 엄밀한 정당화는 코넓이 공식을 사용한다. 함수 
  
    
      
        ρ
        :
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a2003b3ea2e729bd9f05a5ebaae840e00c32b)

를 
  
    
      
        ρ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\textstyle \rho (x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814ac6fc88a67675f2eb558b67d825c48c24bd69)

로 정의한다. ρ는 거의 어디서나 기울기가 단위 벡터 
  
    
      
        
          |
        
        ∇
        ρ
        
          |
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |\nabla \rho |=1}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052f4ce9686e0fe9ad45664c38a2faa0c35b4aa)

인 립시츠 함수이다. D를 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)

에서 
  
    
      
        ρ
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \rho <1}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5f4f072a10e5f3c66c5ca6bbf24df526f0706d)

인 원판이라고 하자. 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
        (
        D
        )
        =
        π
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(D)=\pi }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ff09bb5b41401f3f1992a621448cbee5024d72)

임을 보일 것인데, 여기서 
  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e212255ffc118973a6a2a83d380004b12d46280f)

는 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)

의 2차원 르베그 측도이다. 우리는 원 
  
    
      
        ρ
        =
        r
      
    
    {\displaystyle \rho =r}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40db75722182575603fb982d7ddab4863bef1079)

의 1차원 하우스도르프 측도가 반지름 r인 원의 원둘레인 
  
    
      
        2
        π
        r
      
    
    {\displaystyle 2\pi r}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e811131a9c6c5f45e6657e0fc506e7e