제1 기본 형식

S8 2026-04-26 2 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 제1 기본 형식

미분기하학에서 제1 기본 형식(第一基本形式, 영어: first fundamental form)은 계량 형식을 부분다양체에 국한시켜 얻는 계량 형식이다.

리만 다양체 
  
    
      
        (
        M
        ,
        g
        )
      
    
    {\displaystyle (M,g)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)

속에 부분다양체 
  
    
      
        f
        :
        Σ
        →
        M
      
    
    {\displaystyle f\colon \Sigma \to M}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e811080b917fbcef76255450474cee7d2a027559)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e)

위의 제1 기본 형식은 매장 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

로부터 유도되는 계량 텐서이며, 다음과 같다.

고전적으로, 제1 기본 형식은 n차원 유클리드 공간 속의 곡면 
  
    
      
        Σ
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{n}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f813671f72b8c946582292b88e2a6ea2a4dc240d)

에 대하여 정의된다. 이 경우 제1 기본 형식은 2×2 양의 정부호 대칭행렬이며, 다음과 같다. 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e)

에 좌표 
  
    
      
        ξ
        =
        (
        
          ξ
          
            1
          
        
        ,
        
          ξ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \xi =(\xi ^{1},\xi ^{2})}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57382c0ed95364fa7af4f533630025abac6b16a2)

를 잡으면, 매장 
  
    
      
        
          f
        
        (
        ξ
        )
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} (\xi )\in \mathbb {R} ^{n}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33cc1f91c05cdcc6197b9baa5d0ef3036b24eba)

을 정의할 수 있다. 그렇다면 제1 기본 형식은 다음과 같다. 행렬 표현에서 기호 
  
    
      
        E
        ,
        F
        ,
        G
      
    
    {\displaystyle E,F,G}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc6395da181061e60cc425cff6ad41453c22ea6)

는 전통적인 표기이다.