클리포드 원환면

S5 2026-06-30 4 157.55.

# 클리포드 원환면

기하학적 위상수학에서 클리포드 원환면(영어: Clifford torus)은 두 원 
  
    
      
        
          S
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{a}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2da323e2cd3fc8ed32b7ad3f8008a9af975eb45)

와 
  
    
      
        
          S
          
            b
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{b}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08831b442bc3a7aa12b921e0c65b3ee10af15247)

을 데카르트 곱한 
  
    
      
        
          S
          
            a
          
          
            1
          
        
        ×
        
          S
          
            b
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{a}^{1}\times S_{b}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c937965cca3b253f5d03ed8a9e0b8d0df5bb2216)

의 가장 단순하고 가장 대칭적인 평평한(원통의 표면이 "평평하다"는 것과 같은 의미) 매장이다. 영국 수학자 윌리엄 킹던 클리포드의 이름을 따서 명명되었다. 이것은 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)

이 아니라 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9)

에 매장된다. 
  
    
      
        
          S
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{a}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2da323e2cd3fc8ed32b7ad3f8008a9af975eb45)

와 
  
    
      
        
          S
          
            b
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{b}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08831b442bc3a7aa12b921e0c65b3ee10af15247)

각각이 자신의 독립적인 매장 공간 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            a
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c1565b637ab4051974a437c0447da13105f2e5)

와 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            b
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} _{b}^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2124e0d417e7ccfde449ab323b06bf9b7e50544)

에 존재하면, 곱공간은 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)

이 아닌 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9)

이다. 대조적으로, 두 원의 데카르트 곱이 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)

에 매장된 원환면이라는 역사적으로 대중적인 명제에는 두 번째 원에 대해 회전 연산자의 아주 비대칭적인 적용이 필요하다.

달리 말하면, 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5)

에 매장된 원환면은 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9)

에 매장된 최대 대칭인 클리포드 원환면의 비대칭  차원 축소 사영이다. 이 관계는 정육면체의 모서리를 종이 위에 사영하는 것과 유사하다. 이러한 사영은 정육면체 가장자리의 연결을 정확하게 반영하는 저차원 상(像)을 생성하지만, 정육면체의 완전히 대칭적이고 상호 교환 가능한 3개의 축들 중 하나를 임의로 골라 제거해야 한다.

S
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{a}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2da323e2cd3fc8ed32b7ad3f8008a9af975eb45)

와 
  
    
      
        
          S
          
            b
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{b}^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08831b442bc3a7aa12b921e0c65b3ee10af15247)

각각의 반지름이 
  
    
      
        
          
            
              1
              
                /
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\sqrt {1/2}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91490d42f6bb970b8290bbb29bb2e6b052c29767)

이라면, 그들의 클리포드 원환면 곱은 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9)

의 3차원 부분 다양체인 단위 3차원 구면 
  
    
      
        
          S
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{3}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e57c690f890937838c10ba57853ff21bf30ec8)

안에 완벽하게 맞을 것이다. 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43d6ec8a1e1fe5a85aec0dd9bdcd45ae09b06b)

는 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9)

와 위상동형이기 때문에, 편의상 클리포드 원환면은 복소 좌표 공간 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43d6ec8a1e1fe5a85aec0dd9bdcd45ae09b06b)

내부에 있는 것으로 볼 수 있다.

클리포드 원환면은 정사각형 원환면의 예이다. 그 이유는, 반대쪽 면이 식별된 정사각형과 등장동형이기 때문이다. 이는 유클리드 2-원환면("2"는 위상수학적 차원)으로 더 잘 알려져 있다. 그것에 그려진 그림은 유클리드 기하학을 따른다. 일반적인 "도넛" 모양 원환면은 외부 테두리에서 양으로 구부러지고 내부에서 음으로 구부러지는 반면, 마치 평평한 것처럼 보인다. 3차원 유클리드 공간에서 원환면의 표준 매장과는 다른 기하학을 갖지만 정사각형 원환면은 내쉬 매장 정리에 의해 3차원 공간에 매장될 수도 있다. 하나의 가능한 임베딩은 표면을 따라 두 개의 수직 방향으로 실행되는 잔물결의 프랙탈 집합에 의해 표준 원환면을 수정한다.

R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)

의 단위원 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880)

은 각도 좌표로 매개변수화할 수 있다.

R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)

의 다른 복사본에서 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607