하우스홀더 변환

S1 2026-07-13 4 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 하우스홀더 변환

하우스홀더 변환(Householder reflection,Householder transformation)은 소행렬식의 재귀적인 절차의 반복 수렴으로 하우스홀더 리플렉터(Householder reflector)를 구성한다.

QR 분해에서 하우스홀더 리플렉터를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 접근해 바꾸어감으로써 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)

와 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33)

을 구할 수 있는데,

이 방법은 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)

행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)

를 구할 수 없을 때 유용하다.

또한 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않는 성질이 있다.

또, 그람-슈미트 방법과 기븐스 회전 방법과 함께 QR 분해에서 고유한 방법을 제공한다.

하우스홀더 변환은 밴드 행렬의 일종인 3중대각행렬처럼 밴드 행렬을 만들기도 한다.

하우스홀더변환에의한 
  
    
      
        4
        ×
        4
        m
        a
        t
        r
        i
        x
      
    
    {\displaystyle 4\times 4matrix}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ebe119bf86feec239904ccaecccd9b6321720)

의 3중대각행렬 유도과정

우선, 첫번째 하우스홀더 행렬을 구하면,

Q
          
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  −
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
              
              
                
                  0
                
                
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  3
                
              
              
                
                  0
                
                
                  −
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  2
                  
                    /
                  
                  3
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1/3&2/3&-2/3\\0&2/3&2/3&1/3\\0&-2/3&1/3&2/3\end{bmatrix}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e55c8f957e63fdf11fe5421cf946144b2ed22d)

A
          
            1
          
        
        =
        
          Q
          
            1
          
        
        A
        
          Q
          
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  4
                
                
                  −
                  3
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  3
                
                
                  10
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  1
                
                
                  4
                  
                    /
                  
                  3
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  5
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  −
                  4
                  
                    /
                  
                  3
                
              
              
                
                  0
                
                
                  4
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  −
                  4
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  −
                  1
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}=Q_{1}AQ_{1}={\begin{bmatrix}4&-3&0&0\\-3&10/3&1&4/3\\0&1&5/3&-4/3\\0&4/3&-4/3&-1\end{bmatrix}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f507549637ad80684c7991c578b36d73ae30b7)

A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc2435b217c1a0f46f8a517ffa225c6f9440e81)

을 이용해서

Q
          
            2
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  3
                  
                    /
                  
                  5
                
                
                  −
                  4
                  
                    /
                  
                  5
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  −
                  4
                  
                    /
                  
                  5
                
                
                  3
                  
                    /
                  
                  5
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-3/5&-4/5\\0&0&-4/5&3/5\end{bmatrix}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fe575745ae72dbffe3e5e06c12bff156a3649a)

A
          
            2
          
        
        =
        
          Q
          
            2
          
        
        
          A
          
            1
          
        
        
          Q
          
            2
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  4