힐베르트 다양체

S10 2026-03-25 1 2401:c080:1c01:7be:5400:5ff:fe34:1eb

# 힐베르트 다양체

기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, 영어: Hilbert manifold)는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다.

힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

여기서, 함수 
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle f\colon U\to {\mathcal {H}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e1b7d2ccd555b682865d0494ee3549714a77b4)

, 
  
    
      
        U
        ⊆
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle U\subseteq {\mathcal {H}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d3a4f30fccb9f0d2786b2cc3c71e6f5a0ccf05)

가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 
  
    
      
        k
        ∈
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b871e54d85bc00d974ec76edc49f3b71a489cc)

에 대하여

가 되는 유계 작용소들

이 존재함을 뜻한다.

모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.

두 힐베르트 다양체 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

, 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.

임의의 힐베르트 다양체 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)

는 
  
    
      
        
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {H}}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)

의 열린집합과 미분 동형이다.

분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)

는 힐베르트 다양체이다.

다음이 주어졌다고 하자.

이제, 소볼레프 공간 
  
    
      
        
          W
          
            n
            ,
            2
          
        
        ⁡
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {W} ^{n,2}(M,N)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0a9a4abf499b43030c8db54ee2363d4776d66e)

을 생각하자. 즉, 그 원소의 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)

차 미분의 L2 노름이 유한하다고 하자. 만약

이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.: 781

특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수 
  
    
      
        f
        ∈
        
          
            
              C
            
          
          
            ∞
          
        
        (
        M
        ,
        N
        )
      
    
    {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd542334775af25e1e3b3fcac8b1aaf76a52a8ee)

에 대하여 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)

의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간

이다.

예를 들어, 
  
    
      
        M
        =
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle M=\mathbb {S} ^{1}}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc34633fa82bb63d098476ffb813dcad84c7248)

이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간

을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 
  
    
      
        γ
        :
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        →
        N
      
    
    {\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to N}

![image](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61650fba7df517a8f922c435ac0ab4c6f228e41)

의 에너지

가 유한함을 뜻한다.